Les anamorphoses ne relèvent pas de la géométrie descriptive

24 juin 2022

Les anamorphoses ne relèvent pas de la géométrie descriptive

Un visiteur de mon blog, architecte de formation, m'a écrit que mes dessins de plans au sol (facilitant le tracé d'anamorphoses) relevaient, ni plus ni moins, de la géométrie descriptive.

Une mise au point s'impose car, non, il ne s'agit pas de géométrie descriptive, bien que l'objectif soit presque le même : représenter, dans un ou plusieurs plans, des objets qui existent (ou sont imaginés) sous forme de volumes dans l'espace (R3).

La géométrie descriptive vise, elle, une description complète de l'objet dans R3, et elle le fait en juxtaposant sur une feuille de papier unique, avec force lignes de rappel, plusieurs vues complémentaires, situées dans différents plans : deux plans sont généralement suffisants (la projection frontale qui est une projection orthogonale d'une vue de face, et qui est en haut de la feuille,
et la projection horizontale de la vue de dessus sur le plan horizontal, qui est en bas de la feuille et qui est séparée de la projection frontale par la ligne de terre).

Exemple (issu de l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Géométrie_descriptive) concernant la détermination des points d'intersection d'une droite quelconque avec un cône oblique à base elliptique :

     En ce qui me concerne, les deux dessins que je produis (l'un au sol, l'autre vertical) ne suffisent pas à tout dire de l'objet : le tracé au sol est le résultat essentiel, tandis que l'image verticale, dans le plan du tableau, est soit un moyen de contrôle, soit ce qui remplace les données de départ (ici les coordonnées dans l'espace).

     Secundo, les méthodes de tracé en géométrie descriptive sont loin d'être simples ; il suffit, pour s'en convaincre, d'essayer de comprendre les tracés de géométrie descriptive qui figurent à chaque page du "Traité de perspective d'aspect. Tracé des ombres" (éditions Eyrolles, première édition en 1961, 12e édition, 2004, 167 p.), dû à Louis Parrens (1904-93).

     Enfin et surtout, la géométrie descriptive relève de l'artisanat : pour chaque nouvel objet il faut établir, à la règle et au compas, la projection frontale et la vue de dessus, ce qui est justifié pour faire, par exemple, les plans d'un alternateur qui sera ensuite produit en série, mais ce qui est hors de question si l'objectif est seulement de dessiner le tracé à réaliser un jour, sur le sable d'une plage, entre deux marées, pour créer une illusion d'optique sous forme d'anamorphose.

C'est pourquoi, pour obtenir ce type de tracés et cela sans délai (dès lors que sont fournies les coordonnées, dans l'espace, de quelques points repères caractérisant l'objet à représenter), j'ai opté pour une technique, certes mathématique elle-aussi parce qu'il est crucial qu'elle soit rigoureuse, mais complètement différente : l'analyse.

Je procède par écriture d'équations de plans et de droites et je détermine, par le calcul, leurs intersections (ex. : intersection de tel rayon visuel avec le plan du tableau ou avec le plan du sol, projection au sol du rayon de soleil passant par tel sommet de l'objet).

Une fois établies les formules permettant de passer des coordonnées (x, y, z) dans l'espace aux coordonnées (Xs, Zs) sur le sol et aux coordonnées (Xt, Yt) dans le plan du tableau, il faut s'assurer qu'elles prennent en compte tous les cas particuliers possibles (sol en dévers et incliné, dessin représentant un objet situé en sous-sol, etc.).

Le petit détour par les coordonnées polaires s'est révélé efficace pour calculer les coordonnées cartésiennes après rotation de l'objet, pour qu'on le voie en perspective et non pas de face.

Une fois les formules établies et vérifiées, on peut laisser le soin à un logiciel du type tableur d'effectuer les calculs. Si je me sers pour cela du logiciel de statistique SAS, c'est parce que je suis familier du langage de macro-programmation qu'il met à la disposition des utilisateurs pour faire, en quelques secondes, tous les calculs relatifs à une situation donnée (objet, observateur, soleil) et pour afficher aussitôt les tableaux de valeurs et les graphiques correspondants, qui positionnent les points sur les plans (au sol et image). Il reste alors à prendre une règle et à relier les points qui doivent l'être.