Anamorphoses de cylindres : application aux colonnes du temple grec

    Dans le cas d'un objet de type cube ou, plus généralement, d'un objet sans formes courbes, le choix des points-repères s'impose largement : il va s'agir des extrémités des arêtes : leurs projections au sol seront à relier par de simples droites. Et les coordonnées de ces points-repères dans l'espace sont indépendantes de la position de l'oeil de l'observateur.

    Mais, en cas d'objets à représenter comportant des parties courbes (cylindre, cône, sphère,...), que choisir comme points repères ?

    Limitons-nous, ici, au cas des cylindres verticaux (colonne de temple grec, fût d'une bouteille ordinaire posée dressée sur une table,...) et non pas inclinés.

    Le schéma ci-dessous représente un cercle de centre C, concernant la base d'une colonne (que l'on aurait sectionnée comme on tronçonne le tronc d'un arbre) ; c'est la vue qu'on a lorsqu'on regarde un cylindre par dessus.

    Supposons qu'un observateur, situé en P, regarde la colonne. Il ne voit ni A, ni B, car son regard s'arrête sur les bords visibles de la colonne (en T1 et T2, qui sont les points de tangence des rayons visuels et du pourtour de la colonne).

     Si l'observateur se rapproche de la colonne et se positionne en p, son regard embrassant la colonne se limitera à l'arc de cercle situé entre t1 et t2.

      Or ce qu'il importe de représenter sur le sol lorsqu'on réalise un dessin en anamorphose c'est ce que l'on veut que l'observateur ait l'impression de voir. Il ne faut donc pas choisir, comme points-repères délimitant les bords de la colonne, des points comme A et B si l'observateur est placé en P car, alors, la colonne paraîtrait plus effilée qu'elle ne doit l'être. Et ce biais s'accentuerait si l'observateur se rapprochait de la colonne.

      Ces remarques et les deux positions (P et p) de l'observateur sur le schéma soulignent la nécessité de choisir, comme points-repères, des points qui sont fonction de la position de l'observateur.

       Ce premier schéma montre que les deux points-repères concernant la colonne ci-dessus, regardée depuis P ou p, sont symétriques. Il suffit donc de calculer les coordonnées d'un des deux points de tangence pour en déduire les coordonnées de l'autre.

       Il n'en va plus de même si, au lieu de regarder une colonne unique, on veut représenter un objet comportant plusieurs cylindres, ce qui est par exemple le cas d'un temple grec à plusieurs colonnes ; c'est le cas illustré par le schéma ci-dessous, qui, représentant une partie du temple grec vu de dessus (et sans toit !) permet de voir que, pour une même colonne, chacun des deux points de tangence a ses coordonnées particulières, qui ne se déduisent pas des coordonnées de l'autre en lui étant égales ou de même valeur mais de signe opposé - comme c'est le cas dans le schéma à une colonne unique.

       Dans ce type de cas de figure il va donc falloir calculer, pour pouvoir ensuite les projeter au sol pour réaliser l'anamorphose, les coordonnées de chacun des points de tangence. Cela en fera quatre par colonne car, pour faciliter le tracé de chacun des deux bords visibles de chaque colonne (il s'agit de "génératrices" du cylindre, situées sur le pourtour du cylindre et parallèles à l'axe central de celui-ci) il est pratique de disposer de deux points à relier par une droite. Les coordonnées des deux points de tangence situés en haut de la colonne ne diffèrent que par leur altitude de celles des deux points situés en bas de la colonne.

        Lorsqu'on procède ainsi, les colonnes apparaissent non pas étriquées mais comme ayant leur largeur réelle. J'ai donc intégré ce perfectionnement à la création de mes bases de données concernant des objets incluant des cylindres. C'est le cas pour mon temple grec : j'ai ajouté 24 points-repères, représentant deux points vus en haut de chacune des six colonnes et deux points vus à leur base.

         Le résultat, en termes de plan à tracer au sol pour réaliser une anamorphose à colonnes de taille correcte, est le suivant une fois reliés par des droites les points-repères qui doivent l'être (compte tenu des parties masquées : cas, par exemple, de la colonne du fond à gauche, totalement cachée, et du haut de chacune des autres colonnes, cachées par l'architrave qui sert de base du toit du temple).

          Ce qui a changé (un peu) par rapport au tracé proposé dans mon message précédent dédié au temple grec est dessiné ici avec des traits rouges. Si j'ai aussi colorié en rouge une partie de l'intérieur d'une colonne c'est pour illustrer le problème posé par les ombres propres (qui, correspondant à la partie moins éclairée d'un objet, s'opposent aux ombres portées, qui sont celles que l'objet dessine au sol et sur les objets voisins) : alors que mes macro-programmes me permettent de déterminer la forme des ombres au sol, ils ne me fournissent pas (pour cause de complexité des calculs que cela impliquerait) le tracé des ombres portées sur d'autres parties de l'objet et ils ne m'indiquent pas non plus où dessiner les ombres propres ; mais la raison de cette absence-là n'est pas la difficulté des calculs, car il me suffirait d'appliquer aux rayons du soleil les formules que j'ai établies pour les rayons visuels. Le problème posé par les ombres propres est qu'en cas de surfaces courbes, elles n'ont pas de limites nettes : c'est par un dégradé que l'on passe du côté le plus éclairé au côté le plus sombre ; en cela les ombres propres des volumes courbes diffèrent de celles des volumes à faces sans concavité ni convexité : toute la face est en effet, alors, éclairée de manière homogène (sous réserve, bien sûr, de l'absence de sources multiples de lumière, directe ou réfléchie).

          Pour conclure, voici quelques indications quant à la façon dont j'ai obtenu les formules de détermination des coordonnées des points-repères utiles au tracé des cylindres : pour les raisons évoquées dans le précédent message, je ne recours pas, ici, aux techniques, élaborées mais artisanales, de la géométrie descriptive, mais à l'analyse (au sens de ce terme en mathématiques), qui permet, une fois trouvées les formules, de les appliquer sans délai à tous les cas nécessaires.

           Compte tenu de ce que les points de tangence aux cercles figurant le haut et le bas d'une même colonne ont, à l'exception de l'altitude, les mêmes coordonnées, on peut se contenter de ne considérer que ce qui se passe dans le plan horizontal : une fois obtenues les coordonnées pour chacun des deux points de tangence au cercle du bas, on en déduira alors, par simple substitution d'une hauteur déterminée y=h à y=0, celles relatives au cercle du haut.

            Je pars de l'équation d'un cercle de rayon R et dont le centre a pour coordonnées C(xc, 0, zc). Je fixe la position P de l'observateur à une distance d de l'origine des axes, soit P(0,0,-d) sachant que l'origine des axes O(0,0,0) est le point de l'objet qui est le plus proche des pieds de l'observateur (ou, en cas d'observateur posté en hauteur - sur une dune par exemple -, le plus proche de la projection de ses pieds sur le plan horizontal où repose l'objet).

           Je commence par déterminer l'équation de toute droite passant par le point P puis je calcule sa pente lorsqu'elle tangente le cercle d'un côté ; cela suppose que, lorsqu'ils existent, les deux points en lesquels la droite passant par P coupe le cercle soient confondus et donc que le discriminant de l'équation du second degré qui formalise les intersections de cette droite et de ce cercle soit nul ; je fais de même pour déterminer la pente, et donc l'équation, de la droite tangente de l'autre côté du cercle. Il reste alors à calculer les coordonnées des points de tangence en question. Les formules analytiques qui résultent de ces calculs sont un peu lourdes à écrire de façon développée mais, si on procède par étape, leur transcription en code (SAS en l'occurrence) est assez aisée. Une fois qu'on les a vérifiées par confrontation avec les résultats attendus tel qu'on peut les lire approximativement sur une feuille de papier millimétré accueillant quelques cas particuliers, ces formules fournissent instantanément les coordonnées des points-repères nécessaires au tracé de cylindres verticaux dont il suffit de fixer, pour chacun d'entre eux, le rayon R ainsi que xc et zc, les coordonnées du centre C(xc, 0, zc).