Dessiner des anamorphoses

Vous aimeriez savoir faire, sur le sable d'une plage, un dessin donnant l'illusion d'un escalier descendant vers une pièce avec aquarium ? Ce blog veut vous y aider.  Bienvenue au royaume des anamorphoses ! 

Sommaire (liste des différents messages publiés sur ce blog)

Pour accéder directement à un des messages du blog (dont l'adresse est : http://anamorphoses55.canalblog.com), il suffit de cliquer sur son titre, qui est souligné (ou qui le devient lorsqu'on passe dessus).

Dessins sur le sable et anamorphoses

Sur le Net, on trouve un certain nombre de photos de trompe-l'œil réalisés, sur de vastes plages, par des artistes qui dessinent sur le sable entre deux marées hautes.
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Choisir, pour votre dessin, une plage adaptée, une orientation favorable et de bons outils
Mon expérience m'amène à suggérer de trouver une partie de plage répondant le mieux possible aux critères suivants :     

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Méthode d'obtention des plans au sol, objets étudiés, ombres et conseils
Comme je l'ai expliqué ci-dessus, mon intention est d'offrir, via ce blog, à ceux qui voudraient dessiner cet été des anamorphoses sur une plage de sable fin, à la fois un plan et quelques conseils techniques leur permettant de réaliser des illusions d'optique convaincantes parce que dépourvues d'erreurs de tracé.
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Dessiner un temple grec en anamorphose sur une plage de sable

Parmi les photos de trompe-l'œil réalisés, sur des plages de sable, par des artistes qui dessinent entre deux marées hautes, on trouve, sur le Net, la photo suivante. Cette anamorphose de temple grec a été réalisée par le sand (ou beach) artist néo-Zélandais Jamie Harkins.   

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Anamorphoses de cylindres : application aux colonnes du temple grec

Dans le cas d'un objet de type cube ou, plus généralement, d'un objet sans formes courbes, le choix des points-repères s'impose largement : il va s'agir des extrémités des arêtes : leurs projections au sol seront à relier par de simples droites.

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Plans (dessins au sol) à télécharger

Pour chacun des objets je mentionne les caractéristiques de l'objet, le terrain choisi et la position de l'observateur.
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Les réactions des gens passant à proximité d'une anamorphose sur la plage

Les grands espaces offerts, à marée basse, par les plages à faible pente des rivages à ample marnage (en Bretagne nord par exemple) offrent aux promeneurs d'infinies possibilités de parcours...

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Pages de mises au point : 

Les anamorphoses ne relèvent pas de la géométrie descriptive

Un visiteur de mon blog, architecte de formation, m'a écrit que mes dessins de plans au sol (facilitant le tracé d'anamorphoses) relevait, ni plus ni moins, de la géométrie descriptive.   

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Visionner ce blog sur smartphone est possible mais non optimal 

Certains visiteurs de mon blog m'ont mentionné avoir essayé d'en lire le contenu mais avoir renoncé à en regarder le contenu parce que la page suivante s'affichait et qu'ils ne voulaient ni voir leur smartphone pollué par des cookies ni payer pour bannir les publicités.
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 NB : Les dates associées aux messages successifs ne sont pas nécessairement celles de leur création ou de leur actualisation : elles ont été choisies de sorte à ordonner les messages en fonction de leurs contenus (sommaire, introduction, anamorphoses simples, anamorphoses plus complexes, détails techniques).

Les anamorphoses sur des parois verticales exigent des calculs différents de ceux préparant des dessins au sol.

    Voici quelques réflexions, liens et nouvelles ajoutés à ce blog créé en 2022, donc avant la migration (début 2024) de CanalBlog vers OverBlog et leur rachat (2023 ?) par Webedia, qui chapeaute aussi l'ancien Eklablog.

     J'admire beaucoup les as de la craie de couleur (Nicolaj Arndt  https://www.youtube.com/watch?v=bebpfnJiUF0 ou Julian Beever   https://www.youtube.com/watch?v=XOS-a7vjeEU) et les magiciens de la cendre (artistes souvent asiatiques, par exemple https://www.youtube.com/watch?v=GW88N2NFVO8) qui dessinent des trompe-l'oeil époustouflants sur les trottoirs des rues des villes, sur de petites allées bitumées ou sur le sol de couloirs ou de pièces diverses.

   Je trouve assez géniaux aussi les artistes qui, comme Stefan Pabst, dessinent au crayon - tranquillement chez eux, sur papier A4 - de stupéfiants trompe-l'oeil (ex.: https://www.youtube.com/watch?v=ozzA-wkHaTY).

    Pour ma part je dois me contenter de dessins bien plus frustes et à réaliser très vite car le support de mes tracés d'anamorphoses est le sable breton (matériau à grains très grossiers et de couleur assez uniforme et terne, vs la finesse et la richesse de coloris des poudres des craies de couleur), et, de surcroît, j'oeuvre de façon très éphémère, puisque sur l'estran (vite, vite, la marée monte !).

    Dans ce domaine j'admire le talentueux Jamie Harkins, brillant "sand artist" néo-zélandais (exemple : https://www.youtube.com/watch?v=Z9hRyueMezc). Je vais m'inspirer d'une de ses oeuvres pour traiter en trompe-l'oeil un piano droit de style Napoléon III. Il ressemblera un peu à celui dessiné par Jamie Harkins... mais avec des verticales plus rectilignes et... plus nettement verticales. Au vu de mon dessin préparatoire hyper étroit et allongé, résultat de mes calculs trigonométriques de déformation, on a du mal à imaginer que, vu exactement du bon endroit, ce tracé sur le sable donnera l'impression (du moins je l'espère !) qu'on a affaire à un piano.

    Il n'est pas du tout évident d'arriver à donner l'illusion de R3 (= espace à 3 dimensions, avec des volumes c'est-à-dire des objets qui semblent s'élever à partir du sol, etc.)  au moyen d'un dessin uniquement dans R2 (= espace à 2 dimensions, donc plat, au sol qui plus est - par contraste avec le street art sur des murs, qui utilise donc des parois verticales : il est certes, lui aussi, à deux dimensions mais il est rendu moins complexe à concevoir du fait que ses verticales existent dans la réalité : son défi n'est donc plus "que" celui de la perspective - avec de splendides réalisations sur les murs de nos villes, d'artistes comme Patrick Commecy, par exemple https://www.youtube.com/watch?v=wAmCLWw0Dzk).

.   

       Pour ma part je vais, cette année, recommencer mon essai d'aquarium souterrain de l'an dernier (cf. photo infra), en essayant de corriger ses défauts (apparente non verticalité du bord droit de la fenêtre de l'aquarium, absence d'ombrage du mur de droite, etc.). Ce qui prend le plus de temps c'est le report minutieux, sur une surface de 40 m² de sable (qui n'est pas une commode feuille A4 de papier millimétré ou à carreaux !), des coordonnées que j'ai calculées pour chacun des principaux points-repères.

       Qu'il s'agisse d'anamorphoses de street art on the ground (sol uni, temps non limité, couleurs variées) ou de sand art on the ground (réalisation entre deux marées sur un sol de sable granuleux à surface irrégulière... et à la merci des chiens errants et des jeunes enfants passionnément destructeurs), les dessins ainsi réalisés au sol sont tellement différents de ce qu'on imaginerait intuitivement qu'on doit absolument réaliser des dessins préparatoires minutieux, déformant les tracés réels comme il faut, de sorte à susciter l'effet d'illusion souhaité ; il est crucial de faire notamment en sorte que les arêtes qui devront apparaître comme étant verticales à l'observateur (alors qu'elles sont dessinées à plat, je le rappelle) apparaissent bien telles, car, sinon, l'oeil repère immédiatement ce type d'invraisemblance, ce qui détruit l'effet de trompe-l'oeil qu'on cherchait à créer. 

       Bref, un ensemble de défis intéressants !

    Continuant à dessiner, chaque été, sur l'estran d'une plage bretonne de sable fin, des anamorphoses, j'ai réalisé cette année l'importance de regarder une anamorphose depuis le point exact d'où elle doit être vue.

     Il est certes bien connu que, si on regarde une anamorphose sous un angle et depuis une hauteur complètement différents de ceux qui correspondent au point exact d'où elle doit être vue, on a peu de chances de comprendre ce qui est représenté.

    Certaines anamorphoses profitent d'ailleurs de cet effet de perspective extrême pour donner à voir deux dessins complètement différents selon qu'on les voit d'ici ou de là. C'est le cas, par exemple, à Rome, au couvent des Minimes de la Trinité-des-Monts, où le Père Emmanuel Maignan réalisa en 1642 une immense (près de 20 m de long) représentation de Saint-François de Paule qui, vue de face, évoque un arbre au tronc et aux branches tourmentés, un vaste paysage de Calabre parsemé de petites saynètes bucoliques et un paysage de bord de mer.

 avec des détails (en partie droite) du genre suivant :

Mais, vue sous le bon angle, cette peinture représente un moine en bure, Saint-François de Paule, le fondateur de l'Ordre des Minimes :

 Ce phénomène de déformation de ce qui est vu selon l'endroit d'où l'on regarde est manifeste si on se place à distance du point d'où l'anamorphose doit être vue.

C'est le cas, pour les deux anamorphoses de cet été, si on les regarde depuis un côté du dessin, ou depuis l'endroit opposé, par rapport au dessin, à l'endroit d'où l'anamorphose doit être vue.

C'est ainsi que les deux photos suivantes ne suggèrent pas que ce dont j'ai cherché à donner l'illusion de volume 3D à partir d'un dessin en 2D sur le sable, ce sont deux plots de parking jumeaux, en forme de pyramides tronquées.

tandis que, vu du bon endroit, ce dessin évoque lesdits plots :

    Il en va de même pour le dessin en 2D voulant évoquer un aquarium souterrain auquel on accède par un escalier de neuf marches. 

    Vu de côté ou dans le mauvais sens, ce dessin n'évoque rien du tout et, même vu dans le bon sens, il n'évoque pas grand chose si on se place, pour le voir, face au coin proximal droit au lieu de se placer à proximité du point proximal gauche. Voici en effet ce que l'on voit si on se place trop à droite :

   Rien de surprenant jusqu'ici.

   Ma découverte de l'été c'est l'extrême sensibilité de l'impression que l'on retire, en regardant une anamorphose, aux écarts, même petits, entre l'endroit où est placé l'oeil de l'observateur ou l'objectif de l'appareil photo, et le point exact d'où le dessin doit être vu.

   J'ai en effet réalisé que, si le dessin doit être vu depuis une hauteur de 1,60 m par exemple (ce qui est la valeur que j'ai choisie pour opérer mes calculs de la position des points-repères de ces anamorphoses), une personne de petite taille ou, a fortiori, un jeune enfant, ou, tout au contraire, un adulte de grande taille, ne verront qu'une image assez déformée de ce qui serait vu depuis 1,60 m de hauteur (en ayant, dans tous les cas, les pieds au bon endroit).

   Ce qui m'a surpris le plus c'est que l'extrême sensibilité de l'impression que l'on retire, en regardant une anamorphose, aux écarts, même petits, entre l'endroit où est placé l'oeil de l'observateur ou l'objectif de l'appareil photo, et le point exact d'où le dessin doit être vu, est encore plus forte en cas de déplacement de l'observateur par rapport à la position devant être prise sur le sol.

   Ce phénomène m'est clairement apparu en regardant des photos prises par une personne ayant les yeux à la bonne hauteur et dont les pieds étaient bien placés mais qui tenait son appareil photo à une trentaine de centimètres de distance en avant de ses yeux (qui, eux, étaient placés au bon endroit) : du fait de ce positionnement fâcheux de l'objectif de l'appareil photo, l'arête verticale droite du mur du fond de l'aquarium apparaît inclinée, ce qui préjudicie beaucoup à la crédibilité du trompe-l'oeil.

   J'ai d'abord cru à une erreur de ma part : erreur de calcul des coordonnées, au sol, des points-repères, et/ou erreur de mesure, sur le sol, lors du placement de ces points.

    Puis, en prenant des photos évitant toute erreur de positionnement (en l'occurrence, en reculant par rapport à la position théorique, au sol, de l'observateur afin que l'objectif de l'appareil photo soit exactement à l'aplomb de cette position théorique - et, bien sûr, à la bonne hauteur) j'ai constaté que les traits représentant des verticales dans la réalité donnaient bien cette impression (en convergeant vers l'objectif).

    Ceci dit, ce dessin est loin d'être parfait, à la fois parce que le montant vertical droit de la vitre de l'aquarium devrait apparaître vertical lui aussi (erreur probable de report, sur le sol, de la position du sommet de ce montant) et parce que, si la mer, montante, ne se rapprochait pas si vite, j'aurais dû griser, en griffant le sable dans le sens voulu, le mur droit de l'aquarium.

    Pour finir, je signale la difficulté rencontrée lorsqu'au lieu de se borner à représenter des volumes parallélépipédiques, on ajoute des formes sinueuses (ici les poissons) : même en utilisant la technique de la grille (cf. infra) on n'obtient pas si aisément que cela des résultats convaincants, et ceci en dépit de la déformation considérable des formes dessinées par rapport à ce qu'on espère voir dans le plan du tableau. Un drone aurait été ici utile pour conserver, avant que la mer n'efface tout, une image du dessin réalisé au sol, ce qui aurait permis d'identifier ensuite, au calme, les probables erreurs de tracé.

    Certains visiteurs de mon blog m'ont mentionné avoir essayé d'en lire le contenu mais avoir renoncé à en regarder le contenu parce que la page suivante s'affichait et qu'ils ne voulaient ni voir leur smartphone pollué par des cookies ni payer pour bannir les publicités.

    C'est, bien sûr, leur choix que de refuser ces deux modalités alternatives d'accès à CanalBlog.

    Ceci dit, j'ai constaté que, pour ceux qui accepteraient les publicités, le contenu de mon blog est tout à fait lisible sur smartphone, à ceci près que l'écran, bien plus petit que celui d'un ordinateur, ne facilite pas la lecture des graphiques pour qui veut s'y intéresser de près.

     Et j'avoue ne pas savoir retrouver pour l'instant, sur mon smartphone, l'endroit où est stocké le fichier texte que j'offre en note 1 du message sur le temple grec. A titre d'essai, je l'ai téléchargé sur mon smartphone et j'ai vu s'afficher son contenu effectivement ; dans le menu "trois points" j'ai alors opté pour "Enregistrer pour plus tard", et il s'est affiché ceci : p7.storage.canalblog.com.

      Mais j'ai eu beau visiter les multiples sous-dossiers de mon appareil et de la carte SD que je lui ai ajoutée, je n'ai pas su trouver où ce fichier texte pourrait bien avoir été enregistré. Quelqu'un peut-il m'aider à retrouver son emplacement (sachant que mon smartphone est de type Android, Samsung Galaxy S8 plus précisément) ? Merci par avance !

      Quant au second fichier proposé dans cette même note 1, il se charge lui aussi correctement mais, quand je veux enregistrer cette image, le menu n'offre pas l'option "Enregistrer pour plus tard" (elle figure en gris clair).

     Un visiteur de mon blog, architecte de formation, m'a écrit que mes dessins de plans au sol (facilitant le tracé d'anamorphoses) relevaient, ni plus ni moins, de la géométrie descriptive.

      Une mise au point s'impose car, non, il ne s'agit pas de géométrie descriptive, bien que l'objectif soit presque le même : représenter, dans un ou plusieurs plans, des objets qui existent (ou sont imaginés) sous forme de volumes dans l'espace (R3).

     La géométrie descriptive vise, elle, une description complète de l'objet dans R3, et elle le fait en juxtaposant sur une feuille de papier unique, avec force lignes de rappel, plusieurs vues complémentaires, situées dans différents plans :  deux plans sont généralement suffisants (la projection frontale qui est une projection orthogonale d'une vue de face, et qui est en haut de la feuille,
et la projection horizontale de la vue de dessus sur le plan horizontal, qui est en bas de la feuille et qui est séparée de la projection frontale par la ligne de terre).

     Exemple (issu de l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Géométrie_descriptive) concernant la détermination des points d'intersection d'une droite quelconque avec un cône oblique à base elliptique :

     En ce qui me concerne, les deux dessins que je produis (l'un au sol, l'autre vertical) ne suffisent pas à tout dire de l'objet : le tracé au sol est le résultat essentiel, tandis que l'image verticale, dans le plan du tableau, est soit un moyen de contrôle, soit ce qui remplace les données de départ (ici les coordonnées dans l'espace).

     Secundo, les méthodes de tracé en géométrie descriptive sont loin d'être simples ; il suffit, pour s'en convaincre, d'essayer de comprendre les tracés de géométrie descriptive qui figurent à chaque page du "Traité de perspective d'aspect. Tracé des ombres" (éditions Eyrolles, première édition en 1961, 12e édition, 2004, 167 p.), dû à Louis Parrens (1904-93).

     Enfin et surtout, la géométrie descriptive relève de l'artisanat : pour chaque nouvel objet il faut établir, à la règle et au compas, la projection frontale et la vue de dessus, ce qui est justifié pour faire, par exemple, les plans d'un alternateur qui sera ensuite produit en série, mais ce qui est hors de question si l'objectif est seulement de dessiner le tracé à réaliser un jour, sur le sable d'une plage, entre deux marées, pour créer une illusion d'optique sous forme d'anamorphose.

     C'est pourquoi, pour obtenir ce type de tracés et cela sans délai (dès lors que sont fournies les coordonnées, dans l'espace, de quelques points repères caractérisant l'objet à représenter), j'ai opté pour une technique, certes mathématique elle-aussi parce qu'il est crucial qu'elle soit rigoureuse, mais complètement différente : l'analyse.

     Je procède par écriture d'équations de plans et de droites et je détermine, par le calcul, leurs intersections (ex. : intersection de tel rayon visuel avec le plan du tableau ou avec le plan du sol, projection au sol du rayon de soleil passant par tel sommet de l'objet). 

     Une fois établies les formules permettant de passer des coordonnées (x, y, z) dans l'espace aux coordonnées (Xs, Zs) sur le sol et aux coordonnées (Xt, Yt) dans le plan du tableau, il faut s'assurer qu'elles prennent en compte tous les cas particuliers possibles (sol en dévers et incliné, dessin représentant un objet situé en sous-sol, etc.).

     Le petit détour par les coordonnées polaires s'est révélé efficace pour calculer les coordonnées cartésiennes après rotation de l'objet, pour qu'on le voie en perspective et non pas de face.

     Une fois les formules établies et vérifiées, on peut laisser le soin à un logiciel du type tableur d'effectuer les calculs. Si je me sers pour cela du logiciel de statistique SAS, c'est parce que je suis familier du langage de macro-programmation qu'il met à la disposition des utilisateurs pour faire, en quelques secondes, tous les calculs relatifs à une situation donnée (objet, observateur, soleil) et pour afficher aussitôt les tableaux de valeurs et les graphiques correspondants, qui positionnent les points sur les plans (au sol et image). Il reste alors à prendre une règle et à relier les points qui doivent l'être.

      Les grands espaces offerts, à marée basse, par les plages à faible pente des rivages à ample marnage (en Bretagne nord par exemple) offrent aux promeneurs d'infinies possibilités de parcours et d'activités : ils peuvent

marcher sur le sable fin, bien compact ou s'enfonçant beaucoup sous les pieds, façon sables mouvants,

contourner les flaques ou les traverser carrément pour profiter de la tiédeur relative de leur eau,

longer le rivage pour admirer les dentelles laissées par les vaguelettes et les reflets des nuages sur le sable encore imprégné par la dernière vague qui s'est retirée,

progresser sur le sable ferme ou les pieds juste un peu baignés par l'eau (en se méfiant néanmoins des toujours possibles vives et méduses),

ramasser de petits coquillages multicolores dont l'eau avive les couleurs,

admirer le talent des véliplanchistes et les sauts en l'air des experts du windsurf,

observer et approcher les mouettes, les goélands, les sternes, les blanches aigrettes, les avocettes, les huîtriers-pie, les cormorans volant au ras des flots avant de plonger puis de se sécher les ailes en les étendant façon Oremus, les pipits maritimes, les petits bécasseaux sanderling (ou coureurs des plages) vivant en bande et s'envolant de façon groupée puis formant, dans le ciel, de très esthétiques et virevoltantes nuées...

        Certaines personnes promènent leurs chiens, en liberté le plus souvent, en dépit de l'interdiction préfectorale pourtant clairement mentionnée à l'entrée des plages par des panneaux très explicites.

         Si ces chiens font leurs besoins sur le sable ou sur votre zone de dessin au préalable labourée par leurs pattes, point de canisac : leurs propriétaires hors-la-loi et sans aucun respect pour autrui se moquent bien de la gêne qu'ils imposent aux promeneurs et aux personnes qui se reposent à proximité ; si on leur objecte qu'ils  sont dans leurs torts ils rétorquent, agressifs, que la prochaine marée montante emportera ces déjections !

       Sur les plages, on se promène seul ou en famille, avec des amis, avec ou sans enfants. Selon les jours et l'heure, on n'y rencontre pas les mêmes types de personnes : le week-end, les locaux viennent en masse profiter de la mer, tandis que, après la rentrée des classes en France, les enfants encore présents sur les plages sont allemands, néerlandais ou anglais. Il y a les gens qui ont des horaires dictés par les journaux télévisés et ceux qui ont pour maîtres les horaires des marées.

       Conscientes que, sur la plage, les sons portent très loin, certaines personnes n'élèvent pas la voix, tandis que d'autres ne se gênent pas : elles s'interpellent bruyamment, laissent leurs petits rejetons mal élevés et capricieux crier à tout bout de champ, multiplient les mises en garde hurlées ("Adèle, fais ceci, ne fais pas cela, viens ici", etc.) et aboient des imprécations tonitruantes à leurs chiens désobéissants. Il y a aussi ces mamies qui, une heure durant, vont faire profiter toute la plage de leurs conversations avec leurs enfants et petits-enfants, en se filmant en permanence sur fond de ciel bleu, en mettant à fond le son de leur smartphone (au point que les alentours ne perdent rien de ce que racontent leurs interlocuteurs) et en ne se gênant pas pour parler très fort elles-mêmes, à demi sourdes qu'elles sont peut-être mais en tout cas insupportables en ces yeux si paisibles en leur absence.

      Tout ce petit monde qui circule sur la plage, en maillot de bain, tee-shirt ou pantalon léger, épuisette à la main ou équipé d'un sac à dos du trandonneur, est prêt à dégainer son smartphone pour immortaliser telle ou tel scène, et il ne s'en prive pas. Certaines personnes, après avoir poliment dit bonjour à l'auteur de la sculpture en sable et manifesté leur admiration, posent des questions ("Qu'est-ce que cela représentera une fois achevé ?", "Vous n'utilisez que vos mains et du sable ?", "C'est votre métier ?", "Vous publiez cela ?", ...). Les questions sont, au départ, en français, mais les promeneurs étrangers sont contents quand on leur répond dans leur langue, allemande ou anglaise, et c'est alors parfois toute une conversation qui s'engage. Ces personnes-là ont la courtoisie de demander l'autorisation de photographier les oeuvres en construction ou achevées.

      En revanche, d'autres personnes s'approchent d'abord sans bruit dans votre dos pour voir ce que vous êtes en train de faire puis, comme des poissons intrigués par un nouvel appât, font mine de repartir mais reviennent dans votre dos pour photographier votre oeuvre et vous-même à votre insu, ces voleurs d'images d'images.

      Il arrive aussi que des enfants, courant joyeusement en tous sens sur la plage, tombent en arrêt devant vous, jettent un oeil sur l'oeuvre en cours ou achevée, demandent éventuellement ce qu'on est en train de construire puis filent à toute vitesse vers leurs parents, qui sont étendus un peu plus loin derrière des rochers les protégeant du vent ; et ces enfants, enthousiastes, exhortent alors leurs parents, qui se croyaient bien tranquilles, à venir voir ce qu'ils viennent de découvrir, ce qu'ils finissent par faire, bon gré mal gré.

Le bouche-à-oreille fonctionne alors et les visites se multiplient, créant de petits attroupements eux-mêmes facteurs d'attraction. Et il y a aussi les fans, qui reviennent quotidiennement pour admirer l'oeuvre du jour.

      Cette frénésie de la photographie s'accentue lorsque, sur une vaste plage sur laquelle rien ne semble se passer, un spectacle peu courant s'offre aux regards. Une pelle mécanique charriant du goémon ou un tracteur tirant un voilier hors de l'eau ne constituent pas des spectacles très goûtés. En revanche des visites assez nombreuses sont faites, par des passants intrigués, aux châteaux de sable et aux sculptures en sable, ceci du fait que ces objets émergent nettement de la plage, si plane par ailleurs, et sont donc repérables de loin.

      Face aux sculptures en sable, achevées ou en cours de réalisation, les commentaires des promeneurs sont généralement admiratifs, car les personnes submergées par la désapprobation à la vue furtive des corps féminins audacieusement dévêtus passent leur chemin en faisant un détour loin de ces oeuvres manifestement inspirées par le Malin.

       Et, lorsque, après la trève entre marée mi-descendante et mi-montante, la mer vient, de ses vagues impétueuses ou de son flot silencieux mais inexorablement montant, reconquérir l'estran, en léchant d'abord, puis en déconstruisant (par effondrements de pans entiers des fragiles sculptures) puis en effaçant complètement ces oeuvres éphémères, on est un peu ému de devoir dire adieu à ces sculptures, un adieu qui serait définitif sans les bien précieuses photos-souvenirs ; un sol sableux à nouveau vierge vient alors remplacer ces sculptures (moins durables encore que la rose de l'Ode à Cassandre de Ronsard) dont aucun vestige ne vient polluer la plage, à nouveau terrain propice à de futures oeuvres en sable.

"Las ! voyez comme en peu d'espace,
Mignonne, elle a dessus la place
Las ! las ses beautez laissé cheoir !
Ô vrayment marastre Nature,
Puis qu'une telle fleur ne dure
Que du matin jusques au soir !"

       En revanche les dessins (en 2D) sur la plage, parce qu'ils sont bien moins repérables, surtout de loin sur une plage très étendue, ne reçoivent que bien moins d'attention, de la part des promeneurs, que les sculptures de type ci-dessus (en 3D).

       Cette discrétion est observée qu'il s'agisse de dessins ordinaires, aux dimensions variant entre quelques mètres carrés et aux thèmes variés (ici un vitrail, quelques fleurs, une porte mauresque... et un écran d'ordinateur !)

et de grandes surfaces (ci-dessous environ 250 m²  - 25 m de large sur 10 m de haut) où ces dessins, en 2D, de caravelle, de vaste paysage et de scène de plage (avec texte en allemand pour indiquer aux promeneurs passant sans le savoir sur cette immense fresque qu'il faut monter sur la petite butte pour la voir dans son entier) sont tracés au pied d'une providentielle ancienne maison de douanier, dominant la plage depuis sa falise abrupte)

        Ne sont pas non plus visibles de loin les dessins certes en 3D mais en haut-relief très peu marqué

guère plus que les dessins uniquement 2D tracés au sol qui, jouant essentiellement sur le contraste entre zones de sable sec et zones de sable humide (temporairement car il blanchit vite si le soleil est ardent !), essaient de créer une illusion d'optique, comme dans le cas de l'église bretonne ci-dessous, à la perspective mal maîtrisée et dont le clocher apparaît insuffisamment effilé alors qu'il a déjà nécessité un tracé extrêmement long sur la plage :

et, faute de temps suffisant, seulement une partie d'un château à murailles crénelées et toits coniques :

     Ces dessins, en perspective, d'église et de château, supposent implicitement que l'observateur les regarde depuis une position très élevée puisque devant être supérieure au coq du clocher et au fanion des tours.

    Si on veut éviter la disparition de l'effet de trompe-l'oeil il faut éviter la présence de tout objet ou humain fournissant l'échelle du dessin. 

      C'est ce constat qui a motivé mon orientation, depuis lors, vers des anamorphoses compatibles avec un point de vue situé à une altitude compatible avec la position des yeux d'un passant sur la plage.

     Comme dans le cas de la grappe de raisin reproduite ci-dessous (dont chaque grain paraît sphérique alors que les plus éloignés sont tracés au sol sous forme d'ellipses extrêmement allongées afin de créer l'illusion de grains ronds en dépit de leur éloignement),

      il s'agit, dans le cas de cette grappe comme dans le cas de l'église ou du château ci-dessus, d'anamorphoses dessinées de chic, c'est-à-dire sans plan préalable (ce qui exige, pour corriger assez tôt les erreurs de proportions et d'orientation des sillons, de courir sans cesse de l'endroit où on dessine sur le sol vers la place d'où le dessin devra être vu - ou d'arriver à dénicher une personne qui, placée, au point de vue en question, est disposée à indiquer, lors des tracés préliminaires du genre esquisse, s'il faut allonger tel sillon ou en corriger le tracé).

      C'est la difficulté, insoupçonnée au départ, de la détermination de l'emplacement correct des points-repères essentiels à la création d'une anamorphose convaincante qui m'a décidé à me lancer dans des calculs mathématiques permettant d'obtenir, pour chaque objet et chaque position spécifiée des pieds de l'observateur, les coordonnées de ces points-repères du tracé au sol qui génère l'effet souhaité de trompe-l'oeil.

      Un mot, pour finir, concernant la perplexité des promeneurs qui, ne se plaçant pas au point exact d'où l'anamorphose doit être vue, ne comprennent pas à quoi peuvent bien correspondre ces sillons et ces zones ratissées qui ne leur évoquent rien.

    Ci-contre une vision latérale des tracés figurant deux cubes (de tailles distinctes) et deux plots de parking jumeaux.

       Montrer ces photos constitue une façon de souligner la nécessité de dessins préparatoires avant d'essayer de créer une anamorphose sur le sable d'une plage. En effet, s'il n'est pas vu exactement depuis le bon endroit, un dessin d'anamorphose ne ressemble à rien.

        Il est donc crucial de bien repérer l'emplacement prévu pour les pieds de l'onservateur.

        Quand je suis là, j'expliquer aux curieux où se placer pour bénéficier de l'effet de trompe-l'oeil.

        Et, quand je pars avant que la marée montante n'ait détruit mes tracés au sol (ou que des chiens laissés errant ne les aient défigurés - triste fin !), j'indique par un texte sur le sable l'endroit auquel il convient de se placer (sans pouvoir, pour autant, fournir un petit escabeau aux enfants dont les yeux n'atteignent pas encore une hauteur de 1,40 m).

     Pour chacun des objets dont je fournis le plan de tracé au sol, je mentionne les caractéristiques de l'objet, le terrain choisi et la position de l'observateur, avant d'indiquer le lien conduisant aux documents pouvant être téléchargés.

 1) Anamorphose d'un cube de 1,40 m d'arête

a) Terrain : cube posé sur un sol plan, sans inclinaison ni dévers

b) Longueur de l'arête du cube :1,4 m

c) Angles faits par la base du cube avec le plan du tableau : 60° à droite et donc 30° à gauche

d) Distance entre le plan du tableau et l'arête verticale proximale : 0

e) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60 m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau (distance mesurée de manière orthogonale au tableau) :  1 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport à l'arête proximale du cube :  0 m 

f) Ombres portées : coordonnées et dessins non fournis

g) Nombre de points-repères pour lesquels je fournis les coordonnées x et z dans le plan du sol et leur positionnement sur un graphique aux axes quasi-orthonormés (ie orthogonaux et à échelles identiques) : 8 (les extrémités du cube... mais B est toujours invisible par l'observateur)

h) Coordonnées Xs et Zs  des points-repères à positionner sur la plage : 

    Si on réalise soi-même ce tracé on prendra mieux conscience de ses limites, des limites que j'ai soulignées dans un des messages de ce blog après m'être confronté concrètement (été 2022) aux divers problèmes générés par les trop grandes dimensions de ce tracé.

2) Trois anamorphoses d'un cube de 1 m d'arête, qui est vu de trois endroits différents

    Ces trois cubes sont ceux présentés dans le message intitulé Les plans que j'offre pour dessiner correctement une anamorphose

Caractéristiques communes aux 3 anamorphoses

a) Terrain : cube posé sur un sol plan, sans inclinaison ni dévers

b) Longueur de l'arête du cube :1 m

c) Angles faits par la base du cube avec le plan du tableau : 60° à droite et donc 30° à gauche

d) Distance entre le plan du tableau et l'arête verticale proximale : 0

e) Ombres portées : coordonnées et dessins non fournis

f) Nombre de points-repères pour lesquels je fournis les coordonnées x et z dans le plan du sol et leur positionnement sur un graphique aux axes quasi-orthonormés (ie orthogonaux et à échelles identiques) : 8, à savoir l'origine O et les 7 autres extrémités du cube (A à G, y compris B bien que, parce qu'il est toujours caché au regard de l'observateur, il ne soit pas nécessaire de le positionner - et il ne faut surtout pas le relier à d'autres points). L'emplacement des points-repères sur ce cube de 1 m d'arête est le même que sur le dessin, ci-dessus, du cube de 1,4 m d'arête, ce qui permet de se référer à ce dessin en cas de doute quant aux points à relier par des traits/sillons.

g) Source des résultats chiffrés et des graphiques : mon programme SAS <calculs_8_pour_anamorphoses_au_sol.sas>, à partir de la ligne 1609

 Caractéristiques propres à l'anamorphose N°1

a) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60 m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau (distance mesurée de manière orthogonale au tableau) :  1 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport à l'arête proximale du cube :  0 m 

b) Coordonnées Xs et Zs  (en mètres, avec mention des centimètres) des points-repères à positionner sur la plage :

c) Plan au sol (photo du graphique sur lequel sont représentés - et relie entre eux par mes soins - les 8 points-repères à positionner sur la plage de sable puis à relier par des sillons) : 

 d) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur coordonnees_au_sol_de_cube_arete_1_m__recul_1m_sans_decalage_lateral

e) Pour télécharger le graphique fournissant le plan du tracé à pratiquer sur la plage, cliquer sur  20220914_162728_crop_1_au_sol

f) Voici l'image qui doit apparaître dans le plan du tableau (c'est ce que verra l'observateur s'il se place à l'endroit désigné)      

Caractéristiques propres à l'anamorphose N°2

a) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60 m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau (distance mesurée de manière orthogonale au tableau) :  3 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport à l'arête proximale du cube :  0 m 

b) Coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage : par rapport aux coordonnées des points-repères de l'anamorphose N°1, on ne constate de changement que pour la profondeur (coordonnée Zs) des points D, E, F et G : 

c) Plan au sol (à tracer sur la plage de sable) :   

d) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur coordonnees_au_sol_de_cube_arete_1m__recul_3m_sans_decalage_lateral

e) Pour télécharger le graphique fournissant le plan du tracé à pratiquer sur la plage, cliquer sur  20220913_175349_trace_N_2_crop  

f) Voici l'image qui doit apparaître dans le plan du tableau      

 Caractéristiques propres à l'anamorphose N°3

a) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60 m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau (distance mesurée de manière orthogonale au tableau) :  3 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport à l'arête proximale du cube :  1 m vers la gauche

b) Coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage : par rapport aux coordonnées des points-repères de l'anamorphose N°2, on ne constate de changement que pour les abscisses (coordonnées Xs) des points D, E, F et G :

c) Plan au sol (à tracer sur la plage de sable) :       

d) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur coordonnees_au_sol_de_cube_arete_1m__recul_3m_decalage_lateral_1m_a_gauche

e) Pour télécharger le graphique fournissant le plan du tracé à pratiquer sur la plage, cliquer sur 20220913_175416_trace_N_3_crop

f) Voici l'image qui doit apparaître dans le plan du tableau : 

   Lorsqu'on superpose, sur un même graphique, à axes orthonormés, les trois tracés au sol ci-dessus on obtient le graphique suivant, sur lequel j'ai ajouté, sous forme de dessin d'un oeil, l'emplacement occupé, sur la plage, par l'observateur de l'anamorphose :

* en position N°1 (observateur face à l'arête verticale proximale OD, mais avec un recul de 1 m par rapport au plan du tableau) on obtient le tracé en noir. 

* en position N°2 (observateur encore face à l'arête verticale proximale OD, mais avec un recul de 3 m - et non plus de 1 m par rapport au plan du tableau) on obtient le tracé en rose

* en position N°3 (observateur décalé d'un mètre vers la gauche et donc n'étant plus en face de l'arête verticale proximale OD, recul de 3 m par rapport au plan du tableau) on obtient le tracé en vert.

     On voit que, lorsque l'observateur se recule de 2 m, passant de la position N°1, à l'aplomb de laquelle se trouve l'oeil (à 1,6 m de haut) à la position N°2, le tracé s'allonge : le point le plus éloigné, F, passe d'une profondeur de champ de 5,31 m à 8,64 m.

     Et, lorsque l'observateur se déporte d'un mètre vers la gauche tout en conservant son recul de 3  (passage de la position N°2 à la position N°3), le tracé de la face supérieure se translate vers la droite sans que la profondeur du tracé au sol ne change.

      La comparaison des valeurs des coordonnées, sur le sol, des points-repères confirme l'attente théorique selon laquelle la face inférieure du cube (OABC), telle qu'elle est dessinée sur le sable (O, A et C seuls visibles), est indifférente à la position de l'observateur.

       Par ailleurs, de petits calculs sur les valeurs des coordonnées, sur le sol, des points-repères DEFG (face supérieure du cube) permettent de confirmer l'impression visuelle selon laquelle les 3 faces supérieures se ressemblent beaucoup et paraissent carrées. En effet, si, pour le dessin au sol de chaque cube je calcule les longueurs de deux côtés adjacents (FG et GD) de la représentation de la face supérieure (FGDE) et si je compare la somme de leurs carrés au carré de la longueur de la diagonale (FD) formant, avec ces deux côtés, un triangle, la relation de Pythagore est vérifiée.

      Les trois positions de l'observateur sur la plage conduisent toutes à une face supérieure dessinée, au sol, par un carré ayant 2,67 m d'arête et donc 7,11 m² comme surface.

     Ces quelques indications illustrent les invariants et les types de déformations du tracé, au sol, de l'anamorphose d'un objet lorsque l'on modifie, en profondeur et/ou latéralement, la position de l'observateur.

      Il est à noter que, alors que les dessins au sol sont semblables quant aux formes dessinées pour chacune des deux faces horizontales du cube, ce que voit l'observateur depuis chacune de ses trois positions (c'est-à-dire les trois dessins dans le plan du tableau, vertical) diffère dans chacun des trois cas, comme on le voit en comparant les photos ci-dessus des images dans le plan du tableau et comme on peut le vérifier numériquement en comparant les coordonnées des points-repères pour chacune des trois positions.

3) Anamorphose de deux plots de parking (avec ombres portées contingentes au lieu et au moment)

a) Terrain : les deux plots, identiques, sont posés sur un sol plan (ni incliné ni en dévers, bien que mon programme permettrait de tenir compte de ces caractéristiques du sol - et c'est d'ailleurs ce que j'ai fait s'agissant des anamorphoses que j'ai dessinées à la craie sur mon propre parking, qui est à la fois incliné et en dévers pour favoriser l'écoulement des eaux de pluie),

     Ces plots jumeaux sont côte à côte mais leurs bases sont espacées de 0,5 m. L'origine des axes est située dans le plan du tableau (orienté, de gauche à droite, à 30°vers l'ouest par rapport au nord), au centre de l'espace inter-plots

b) Plots en forme de pyramides tronquées, de hauteur 0,4 m, avec une base carrée de 0,5 m de côté et une face supérieure carrée de 0,3 m de côté

c) Angles faits par la base des plots avec le plan du tableau : 0°

d) Distance entre le plan du tableau et les plots : 0 (c'est-à-dire que les plots longent, à leur base, le bas du plan du tableau)

e) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60 m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau (distance mesurée de manière orthogonale au tableau) :  3 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport au centre de l'intervalle entre les deux plots :  2 m vers la gauche

f) Ombres portées : mes calculs fournissent les points de contour de ces ombres pour trois heures différentes (8h, 10h, 12h), un jour donné (j'ai choisi ici le 24 juin 2022) et pour un lieu précis que j'ai choisi (à savoir le petit parking situé en bas de l'allée reliant la maison que j'habite à la route, parce que mon intention est de signifier, à travers ces plots en trompe-l'oeil, qu'il ne s'agit pas d'un emplacement où n'importe qui peut se croire autorisé à garer son véhicule). Mais il ne servirait à rien de les mentionner ici, et, a fortiori, d'en prévoir le téléchargement car la validité des coordonnées en question est contingente au lieu, à l'année, au mois, au jour et à l'heure concernés puisque la position du soleil, et donc les ombres quand l'astre est visible, dépend, en élévation et en azimut, de chacun de ces éléments). Ceci dit il serait très facile (et quasi-immédiat) de fournir, pour un lieu à latitude et longitude données, un plan du tableau orienté selon une direction précisée et telle(s) heure(s) de tel jour, de fournir les coordonnées des contours des ombres de ces deux plots, 

g) Nombre de points-repères pour lesquels je fournis les coordonnées Xs et Zs dans le plan du sol et leur positionnement sur un graphique aux axes quasi-orthonormés (ie orthogonaux et à échelles identiques) : 16, 8 par plot, ainsi dénommés : ABCD pour la face inférieure du plot de gauche (BC est l'arête horizontale proximale et D n'est pas visible), EFGH pour sa face supérieure, et de même, mais avec des lettres minuscules cette fois, pour le plot de droite : abcd et efgh (attention : les noms des sommets des plots ne correspondent pas à ceux des sommets des cubes ci-dessus,O et A à G).

h) Coordonnées des 16 points-repères dans l'espace (x, y, z), dans le plan du tableau (Xt, Yt) et dans le plan du sol (Xs et Zs)

i) le plan de traçage au sol : le décalage de l'observateur vers la gauche introduit une dissymétrie sous la forme d'une inclinaison plus nette des arêtes non horizontales du plot de droite ; la  face supérieure du plot de droite s'en trouve décalée vers la droite mais est de dimension inchangée.

j) Ce que l'on veut que l'observateur voie (= image dans le plan du tableau, coordonnées Xt et Yt ci-dessus) 

      On pourrait s'étonner du caractère un peu empâté du plot de droite, par rapport à son voisin de gauche, et, si on s'attend à ce que deux plots identiques apparaissent de même taille, craindre par conséquent des erreurs de calcul. il n'en est rien : cette image doit être regardée en se déportant latéralement de deux mètres à gauche. Le plot de droite étant alors plus loin des yeux que celui de gauche voit sa taille apparente rejoindre celle du plot de gauche.

       C'est l'occasion de rappeler que le dessin sur le plan du tableau ne s'identifie à ce que voit l'observateur que lorsque celui-ci est positionné face à l'objet, sans décalage latéral. Si, en revanche, l'observateur, conservant le même recul par rapport au plan du tableau, se déporte de côté (comme c'est le cas ici), ce qu'il voit se dessine dans un plan vertical orthogonal à son rayon visuel, et, alors, la projection de ce dessin sur le plan du tableau hypertrophie les parties du dessins qui sont les plus éloignées, ceci de sorte que l'effet de perspective, qui rapetisse ce qui est loin, n'empêche pas de retrouver l'impression d'une identité de volumes des deux plors.

j) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur tableau_2_plots_sol_plat_decale_2m_recul_3m_coordonn_es_16_pts

k) Pour télécharger le graphique fournissant le plan du tracé à pratiquer sur la plage, cliquer sur trace_plots_plat_decal_g_2m_recul_3m

l) Source des résultats chiffrés et des graphiques : mon programme SAS <calculs_8_pour_anamorphoses_au_sol.sas>, à partir de la ligne 1157 (après avoir soumis les trois macros des lignes 681-706, 713-791, 810-1078 et 2033-2267)

4) Anamorphose d'un aquarium souterrain

a) Terrain : sol plan, ni incliné, ni en dévers

b) L'excavation, profonde de 3 m, concerne au total une surface de 40 m² (5 m sur 8 m). On y descend par un escalier et, dans la pièce souterraine (de 15 m² au sol : 5 m de large sur 3 m), on voit l'aquarium (dont la vitre représente 8 m² (2 m de haut sur 4 m de large) et une porte

c) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60  m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau : 2 m (ce qui est bien différent des 10 cm de recul que j'avais choisis, à tort, pour l'aquarium dessiné à l'été 2022, dont les photos manquent donc de recul et sont par conséquent soit partielles soit déformées parce que prises avec un recul qui éloigne le photographe du point de vue de l'anamorphose)

  * décalage latéral de l'observateur par rapport au centre de l'aquarium : 2,5 m vers la gauche, ce qui le situe dans le prolongement du mur de gauche (qui est, de ce fait, invisible)

d) Nombre de points-repères pour lesquels je fournis les coordonnées Xs et Zs dans le plan du sol et leur positionnement sur un graphique aux axes quasi-orthonormés (ie orthogonaux et à échelles identiques) : 36, dont 22 pour les marches d'escaliers - mais les points S et T, qui marquent la hauteur (CS) et le giron (profondeur ST) de la première marche sont invisibles et donc ne servent pas aux tracés

e) Source des résultats chiffrés et des graphiques : mon programme SAS <calculs_8_pour_anamorphoses_au_sol.sas>, à partir de la ligne 1231 (après avoir soumis les macros des lignes 681-706, 713-791, 810-1078 et 2033-2267

f) Ce que l'on veut que l'observateur voie (= image dans le plan du tableau). J'ai rajouté les traits au graphique positionnant les points-repères :

 g) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur Aquarium_Position_de_l_observateur___2m_et_coordonn_es_des_points_rep_res_dans_R3_et_R2__

 h) Pour télécharger le graphique ci-dessous, qui fournit une idée de l'allure globale du tracé à pratiquer sur la plage (un tracé, convenons-en, peu intuitif c'est-à-dire pas facile à imaginer et à tracer de chic, et donc pour lequel des calculs préalables s'avèrent bien nécessaires), cliquer sur aquarium_avec_recul_2m___Trac__au_sol_ .

 5) Anamorphose d'un garage souterrain

a) Terrain : sol plan, ni incliné, ni en dévers

b) Creusé dans la colline, ce garage souterrain se situe à une profondeur de 1,80 m, et il n'offre une hauteur sous plafond que de 1,60 m. On y accède par une rampe (trop) fortement inclinée (32%), de largeur 2,10 m (ce qui n'est pas très large, la C4, par exemple, étant large de 1,80 m). La surface concernée par cette entrée de garage est de 11,97 m² (2,10 m sur 5,7 m). 

     Sur le mur situé à droite quand on descend au garage une grande flèche blanche a été peinte. Avant d'atteindre le niveau du sol du garage, on trouve une fenêtre grillagée.

c) Position de l'observateur (dont les yeux sont à 1,60  m du sol) :

  * recul de l'observateur par rapport au plan du tableau : 2,5 m

  * décalage latéral de l'observateur par rapport au centre de la rampe de descente (centre pris comme origine des axes) : 5,7 m vers la gauche, ce qui, dans la réalité de l'endroit où je demeure, situe l'observateur exactement sur le seuil du garage situé au rez-de-chaussée de la maison.

d) Nombre de points-repères pour lesquels je fournis les coordonnées Xs et Zs dans le plan du sol et leur positionnement sur un graphique aux axes quasi-orthonormés (ie orthogonaux et à échelles identiques) : 33 en tout, dont 17 points principaux (lettres majuscules) correspondant à l'entrée du garage et à la flèche dessinée sur le mur de droite, auxquels s'ajoutent 16 lettres points annexes (lettres minuscules) correspondant aux points-repères de la fenêtre à grille située sur le mur.

   Parmi ces 33 points, 13 sont invisibles : outre les 8 points du bas de la fenêtre (e, f, g, h, n, o p et q) et Q (extrémité inférieure de la tête de la flèche), les points E, G, H et J. Il faudra donc bien veiller à ne pas faire passer des sillons par eux, sous peine de devoir soigneusement reboucher ces trous pour en bien gommer le tracé. Mais certains de ces points sont précieux pour tracer des arêtes en partie visibles : pour le bas du fronton de l'entrée du garage (horizontale FJ, partiellement visible), pour le coin vertical entre entrée du garage et mur de droite de la rampe d'accès (CE, seulement visible en partie) ou pour le bord inférieur droit de la rampe d'accès (BE, visible à son début uniquement, qui fait intervenir E une seconde fois). Le point H, en revanche, n'est utile, ici, à aucun tracé et on pourrait se dispenser de G, dont la seule utilité est qu'il est plus proche de B que ne l'est E.

e) Source des résultats chiffrés et des graphiques : mon programme SAS <calculs_8_pour_anamorphoses_au_sol.sas>, à partir de la ligne 1277 (après avoir soumis les quatre macros des lignes 700-1078 et 2081-2314).

f) Pour télécharger les coordonnées Xs et Zs des points-repères à positionner sur la plage, cliquer sur  garage_souterrain_coordonn_es_des_33_points

 g) Pour télécharger le graphique ci-dessous, qui fournit une idée de l'allure globale du tracé à pratiquer sur la plage (un tracé dont la position de certains traits principaux - à savoir CE et BE - n'est pas du tout facile à imaginer, et donc pour lequel des calculs préalables s'avèrent bien utiles pour fournir les coordonnées du point E - et, bien qu'il s'agisse ici d'une simple fioriture, c'est tout aussi vrai pour le positionnement des 8 points délimitant le tracé de la flèche - Là savoir K, L, M, N, P, Q, R, S), cliquer sur garage_souterrain_graphique_des_33_points_avec_traits

 6) Anamorphose d'un temple grec

         Fournir les coordonnées des 47 points-repères (29 principaux + 18 subsidiaires, relatifs aux six colonnes) de ce temple grec ne serait que de peu d'utilité, et ceci même sans faire figurer dans ce document les coordonnées des ombres à trois heures déterminées (parce qu'elles varient selon le lieu, l'année, le mois et le jour).

         En effet, une fois réalisé selon mes plans (ce qui aurait déjà eu le mérite d'éviter les fréquents déplacements entre la plage et le point de vue, des déplacements auxquels on est contraint, en l'absence de plan pré-établi, pour contrôler l'absence d'erreur manifeste), ce temple ne pourrait pas, selon toute vraisemblance, être vu du bon point de vue - que l'on sait unique pour une anamorphose donnée - car il serait miraculeux que l'on trouve, à juste la bonne distance de la plage de bon sable propre au tracé de l'anamorphose, une élévation (gros rocher, falaise, dune abrupte,...) permettant de placer les yeux juste à la bonne hauteur, même si, pour tenter de limiter ce problème j'ai aussi calculé les plans de mini-temple grec (fronton ne culminant qu'à 2 m et non plus 5 m) car il faudrait quand même arriver à voir l'anamorphose d'au moins 2,8 m de haut si on ne veut pas étendre considérablement la zone à sillonner et à gratter.

         Les artistes qui disposeraient d'un point de vue conforme aux exigences de mon anamorphose de temple grec de 5 m de haut, à voir avec un oeil placé à 9 m de haut, face à la colonne proximale et avec un recul de 16 m par rapport à elle, pourront s'inspirer du plan ci-dessus et des coordonnées que je fournis en http://anamorphoses55.canalblog.com/archives/2022/01/06/39291886.html.

    Dans le cas d'un objet de type cube ou, plus généralement, d'un objet sans formes courbes, le choix des points-repères s'impose largement : il va s'agir des extrémités des arêtes : leurs projections au sol seront à relier par de simples droites. Et les coordonnées de ces points-repères dans l'espace sont indépendantes de la position de l'oeil de l'observateur.

    Mais, en cas d'objets à représenter comportant des parties courbes (cylindre, cône, sphère,...), que choisir comme points repères ?

    Limitons-nous, ici, au cas des cylindres verticaux (colonne de temple grec, fût d'une bouteille ordinaire posée dressée sur une table,...) et non pas inclinés.

    Le schéma ci-dessous représente un cercle de centre C, concernant la base d'une colonne (que l'on aurait sectionnée comme on tronçonne le tronc d'un arbre) ; c'est la vue qu'on a lorsqu'on regarde un cylindre par dessus.

    Supposons qu'un observateur, situé en P, regarde la colonne. Il ne voit ni A, ni B, car son regard s'arrête sur les bords visibles de la colonne (en T1 et T2, qui sont les points de tangence des rayons visuels et du pourtour de la colonne).

     Si l'observateur se rapproche de la colonne et se positionne en p, son regard embrassant la colonne se limitera à l'arc de cercle situé entre t1 et t2.

      Or ce qu'il importe de représenter sur le sol lorsqu'on réalise un dessin en anamorphose c'est ce que l'on veut que l'observateur ait l'impression de voir. Il ne faut donc pas choisir, comme points-repères délimitant les bords de la colonne, des points comme A et B si l'observateur est placé en P car, alors, la colonne paraîtrait plus effilée qu'elle ne doit l'être. Et ce biais s'accentuerait si l'observateur se rapprochait de la colonne.

      Ces remarques et les deux positions (P et p) de l'observateur sur le schéma soulignent la nécessité de choisir, comme points-repères, des points qui sont fonction de la position de l'observateur.

       Ce premier schéma montre que les deux points-repères concernant la colonne ci-dessus, regardée depuis P ou p, sont symétriques. Il suffit donc de calculer les coordonnées d'un des deux points de tangence pour en déduire les coordonnées de l'autre.

       Il n'en va plus de même si, au lieu de regarder une colonne unique, on veut représenter un objet comportant plusieurs cylindres, ce qui est par exemple le cas d'un temple grec à plusieurs colonnes ; c'est le cas illustré par le schéma ci-dessous, qui, représentant une partie du temple grec vu de dessus (et sans toit !) permet de voir que, pour une même colonne, chacun des deux points de tangence a ses coordonnées particulières, qui ne se déduisent pas des coordonnées de l'autre en lui étant égales ou de même valeur mais de signe opposé - comme c'est le cas dans le schéma à une colonne unique.

       Dans ce type de cas de figure il va donc falloir calculer, pour pouvoir ensuite les projeter au sol pour réaliser l'anamorphose, les coordonnées de chacun des points de tangence. Cela en fera quatre par colonne car, pour faciliter le tracé de chacun des deux bords visibles de chaque colonne (il s'agit de "génératrices" du cylindre, situées sur le pourtour du cylindre et parallèles à l'axe central de celui-ci) il est pratique de disposer de deux points à relier par une droite. Les coordonnées des deux points de tangence situés en haut de la colonne ne diffèrent que par leur altitude de celles des deux points situés en bas de la colonne.

        Lorsqu'on procède ainsi, les colonnes apparaissent non pas étriquées mais comme ayant leur largeur réelle. J'ai donc intégré ce perfectionnement à la création de mes bases de données concernant des objets incluant des cylindres. C'est le cas pour mon temple grec : j'ai ajouté 24 points-repères, représentant deux points vus en haut de chacune des six colonnes et deux points vus à leur base.

         Le résultat, en termes de plan à tracer au sol pour réaliser une anamorphose à colonnes de taille correcte, est le suivant une fois reliés par des droites les points-repères qui doivent l'être (compte tenu des parties masquées : cas, par exemple, de la colonne du fond à gauche, totalement cachée, et du haut de chacune des autres colonnes, cachées par l'architrave qui sert de base du toit du temple).

          Ce qui a changé (un peu) par rapport au tracé proposé dans mon message précédent dédié au temple grec est dessiné ici avec des traits rouges. Si j'ai aussi colorié en rouge une partie de l'intérieur d'une colonne c'est pour illustrer le problème posé par les ombres propres (qui, correspondant à la partie moins éclairée d'un objet, s'opposent aux ombres portées, qui sont celles que l'objet dessine au sol et sur les objets voisins) : alors que mes macro-programmes me permettent de déterminer la forme des ombres au sol, ils ne me fournissent pas (pour cause de complexité des calculs que cela impliquerait) le tracé des ombres portées sur d'autres parties de l'objet et ils ne m'indiquent pas non plus où dessiner les ombres propres ; mais la raison de cette absence-là n'est pas la difficulté des calculs, car il me suffirait d'appliquer aux rayons du soleil les formules que j'ai établies pour les rayons visuels. Le problème posé par les ombres propres est qu'en cas de surfaces courbes, elles n'ont pas de limites nettes : c'est par un dégradé que l'on passe du côté le plus éclairé au côté le plus sombre ; en cela les ombres propres des volumes courbes diffèrent de celles des volumes à faces sans concavité ni convexité : toute la face est en effet, alors, éclairée de manière homogène (sous réserve, bien sûr, de l'absence de sources multiples de lumière, directe ou réfléchie).

          Pour conclure, voici quelques indications quant à la façon dont j'ai obtenu les formules de détermination des coordonnées des points-repères utiles au tracé des cylindres : pour les raisons évoquées dans le précédent message, je ne recours pas, ici, aux techniques, élaborées mais artisanales, de la géométrie descriptive, mais à l'analyse (au sens de ce terme en mathématiques), qui permet, une fois trouvées les formules, de les appliquer sans délai à tous les cas nécessaires.

           Compte tenu de ce que les points de tangence aux cercles figurant le haut et le bas d'une même colonne ont, à l'exception de l'altitude, les mêmes coordonnées, on peut se contenter de ne considérer que ce qui se passe dans le plan horizontal : une fois obtenues les coordonnées pour chacun des deux points de tangence au cercle du bas, on en déduira alors, par simple substitution d'une hauteur déterminée y=h à y=0, celles relatives au cercle du haut.

            Je pars de l'équation d'un cercle de rayon R et dont le centre a pour coordonnées C(xc, 0, zc). Je fixe la position P de l'observateur à une distance d de l'origine des axes, soit P(0,0,-d) sachant que l'origine des axes O(0,0,0) est le point de l'objet qui est le plus proche des pieds de l'observateur (ou, en cas d'observateur posté en hauteur - sur une dune par exemple -, le plus proche de la projection de ses pieds sur le plan horizontal où repose l'objet).

           Je commence par déterminer l'équation de toute droite passant par le point P puis je calcule sa pente lorsqu'elle tangente le cercle d'un côté ; cela suppose que, lorsqu'ils existent, les deux points en lesquels la droite passant par P coupe le cercle soient confondus et donc que le discriminant de l'équation du second degré qui formalise les intersections de cette droite et de ce cercle soit nul ; je fais de même pour déterminer la pente, et donc l'équation, de la droite tangente de l'autre côté du cercle. Il reste alors à calculer les coordonnées des points de tangence en question. Les formules analytiques qui résultent de ces calculs sont un peu lourdes à écrire de façon développée mais, si on procède par étape, leur transcription en code (SAS en l'occurrence) est assez aisée. Une fois qu'on les a vérifiées par confrontation avec les résultats attendus tel qu'on peut les lire approximativement sur une feuille de papier millimétré accueillant quelques cas particuliers, ces formules fournissent instantanément les coordonnées des points-repères nécessaires au tracé de cylindres verticaux dont il suffit de fixer, pour chacun d'entre eux, le rayon R ainsi que xc et zc, les coordonnées du centre C(xc, 0, zc).

     Parmi les photos de trompe-l'œil réalisés, sur des plages de sable, par des artistes qui dessinent entre deux marées hautes, on trouve, sur le Net, la photo suivante. Cette anamorphose de temple grec a été réalisée par le sand (ou beach) artist néo-Zélandais Jamie Harkins.

     Donner l’illusion de verticales et de volumes à partir de simples tracés à plat sur le sable, réalisés dans l’urgence car la marée monte inexorablement, n’a rien d’évident.

     L’effet produit peut être saisissant si, grâce à des dessins préparatoires minutieux, on évite erreurs de perspective (ex. : colonnes apparaissant penchées au lieu de sembler verticales) et défauts de cohérence à la fois entre les diverses parties de l’œuvre (ex. : ombres orientées différemment selon les colonnes) et entre le dessin et les personnages qu’on fait poser dessus (ex. : lorsque l’ombre d’un personnage semblant placé derrière une colonne paraît passer devant cette colonne).

     Des dessins préparatoires minutieux ? Mais de quoi s’agit-il ?

     Il s’agit essentiellement d’un plan (le « bon plan » annoncé dans le titre de cette page) dessiné à l’avance sur une feuille de papier de format A4 ou A3, qui, le jour dit, sera reproduit à bien plus grande échelle sur la plage pour servir de trame à ce qui devra être tracé dans le sable si on veut éviter des erreurs grossières, qui ruineraient tout l’effet de trompe-l’oeil.

     Il ne s’agit pas, vu le peu d’heures dont on dispose entre deux marées, d’un dessin complet, assorti de tous les détails souhaités – qu’on pourra ajouter à la fin si on en a le temps. Il s’agit uniquement de positionner correctement un certain nombre de points-repères qui, correctement placés sur le sable, garantiront l’absence d’erreur criante de perspective.

     Pour réussir une anamorphose il faut donc :

          * disposer d’un plan de tracé au sol, un plan précis mais limité aux points repères

          * savoir comment, une fois sur la plage, reproduire ce plan en en respectant les proportions.

     Pour illustrer mon propos j’ai appliqué ces principes au cas d’un temple ressemblant à celui dessiné par Jamie Harkins (cf. photo ci-dessus).

A. Disposer d’un plan de tracé au sol, un plan précis mais limité aux points repères

     J’ai supposé que la plage envisagée pour la réalisation de cette anamorphose est bordée, comme c’est le cas pour celle de Jamie Harkins, d’une dune dont la hauteur suffit pour donner l’impression que, depuis cette dune, on domine le temple bien que celui-ci mesure 5 m de haut et bien que son toit se prolonge jusqu’à plus de 8 m au-delà du fronton (8,09 m exactement parce que j’ai appliqué à mon temple les proportions requises par le nombre d’or pour les constructions harmonieuses).

     L’observateur posté sur la dune est supposé situé face à la colonne du temple la plus proche de lui (sachant que le temple est vu en perspective, avec un angle de 69° à droite) et est supposé regarder le temple en ayant les yeux à 9 m du sol (soit une dune haute de 7,40 m si l’œil de l’observateur est à 1,60 m de ses pieds). La distance entre l’emplacement de l’observateur et le pied de la colonne proximale est supposé égal à 16 m.

     Ces précisions sont cruciales pour l’obtention de l’effet d’illusion d’optique : si les yeux de l’observateur ne peuvent être situés à l’endroit ainsi défini, mais plus haut ou plus bas que 9 m, ou à une distance inférieure ou supérieure à 16 m, il faut refaire les calculs procurant le plan au sol.

     Si, dans ces conditions, on veut que le spectateur (placé au bon endroit) voie un temple ressemblant à ceci :

     Il faut commencer par tracer au sol un dessin sommaire du type suivant (auquel on pourra rajouter, par la suite, de petits détails inspirés de ceux que j’ai fait figurer sur le dessin ci-dessus : tores accueillant les bas des fûts des colonnes, acrotères posés aux trois angles du fronton, tympan garni de figures antiques, gouttes le long de l’architrave, décoration de la frise par des triglyphes et des scènes ornant les métopes, …) :

      On conviendra que ce tracé au sol n’a rien d’évident : bien malin serait celui qui saurait le dessiner sans erreur à partir de l’image désirée ci-dessus ! C’est pourquoi le recours à des calculs me semble inévitable pour obtenir ce type de plan.

      Mais ces plans ne sont, typiquement, jamais fournis sur le Net par les artistes qui y présentent les résultats de leurs anamorphoses.

     D’où l’intérêt du plan ci-dessus, issu de mes calculs, que j’offre à ceux qui voudraient réaliser avec succès un temple grec en trompe-l’œil.

     Pour obtenir ce plan il faut reporter sur un graphique[1] à deux axes orthonormés (c’est-à-dire de mêmes échelles et se croisant de façon perpendiculaire) les coordonnées des points-repères (cf. liste ci-dessous : X pour le petit côté, Z pour la grande longueur) puis joindre, à la règle, les points qui doivent l’être.

     Si on ne cherche pas à faire figurer, sur le dessin au sol, les ombres portées par les colonnes et le toit du temple, le tracé se réduit aux 29 points-repères principaux suivants, dont les noms correspondent aux lettres qui figurent sur le petit dessin ci-après (tracé sur papier millimétré, avec, pour chacun de ces points et entre parenthèses, leurs coordonnées dans l’espace[2] lorsque le temple est vu de face, donc avant la rotation de 21° qui permet de le voir en perspective) :

nom   Zs_a_ tracer   Xs_a_ tracer

       A       8.8937     -6.8241

       B       6.3833     -0.2843

       C       8.0000      0.0000

       D      10.9864     -7.7798

       E       8.7692      0.0000

       F      11.8705     -8.0791

       G      17.0158     -5.2514

       H      15.6341     -5.0013

       I      12.1803     -6.7218

       J      10.2451     -1.6804

       K      34.0093      1.2718

       L      21.8411      5.0178

       M      20.5878      4.8320

       N      17.8848      4.1307

       O       0.0000      0.0000

       P       1.4335     -3.7343

       Q       0.3584     -0.9336

       R       1.7918     -4.6679

       S       0.9336      0.3584

       T       2.3671     -3.3760

       U       3.3049      1.2686

       V       4.2385      1.6270

       W       5.0967     -3.3993

       X       6.0303     -3.0409

       Y       6.6191      2.5408

       Z       7.5527      2.8992

       p       8.9861     -0.8351

       q       7.9110      1.9656

       r       9.3445     -1.7687 (quatrième point – caché – de la base du temple, avec R, O et Z)

     Voici ce que donne le tracé au sol (14 mètres de large environ, et 34 m de long) lorsqu’on le réduit à ces 29 points-repères principaux :

     On remarque que ces graphiques sont à regarder de côté (du côté gauche de la feuille) parce que, du fait que le plan à tracer sur le sable est plus long que large, j’ai choisi l’axe horizontal (parce que c’est le plus long) pour représenter la profondeur du dessin.

     Et voici, lorsqu’on limite le tracé au sol à ces 29 points-repères principaux, le graphique dont il faut relier, par des traits rectilignes, les points qui doivent l’être pour obtenir l’image verticale dont le tracé au sol donne l’impression ; on retrouve alors, mais sans les détails ajoutés au crayon, le premier graphique présenté sur cette page.

A ces 29 points-repères principaux on peut ajouter, pour faciliter le tracé des fûts cylindriques des colonnes, les 18 points-repères subsidiaires suivants :

       a       0.3659     -0.3951

       b       0.5385     -0.0075

       c       1.7994     -4.1294

       d       1.9719     -3.7419

       e       3.8433      1.2611

       f        3.6708      0.8735

       g       7.1575      2.5333

       h       6.9850      2.1457

       i        5.1042     -2.8608

       j        5.2768     -2.4732

       k       9.2771     -5.6983

       l       7.0941      -0.0115

       m    12.1269      1.9204

       n     17.1739      3.8578

       t       8.0526     -1.1935

       u     24.9424     -3.0612

       w     24.9424     -3.0612

       x     20.3952      -2.4091

     Si on veut ajouter, à ces 47 points-repères principaux et subsidiaires, les points délimitant les ombres portées par les colonnes et le toit du temple (qui est orienté en faisant un certain angle avec le nord), et cela en tel lieu, tel jour et à telle heure (des précisions qui permettent de déterminer la position du soleil), on peut ajouter les 21 points-repères suivants, de A2 à x2.

     Alors A2 représente le point de projection au sol de l’ombre du point A à l’heure N°2 (qui correspond à 19 h le 30 août 2022 sur telle plage de Bretagne nord, une heure choisie bien antérieure à l’heure de la marée haute ce jour-là en ce lieu), B2 la projection du point B, etc.

     Sont exclues les ombres relatives aux points-repères situés sur le sol (R, P, Q, O, S, etc.) car leurs ombres se confondent avec eux.

       A2     11.5521      2.1082

       B2      9.7443       6.8178

       C2     11.4436      8.3142

       D2     13.4405      3.1122

       E2     12.1566      8.8323

       F2     14.1663      3.5969

       G2     17.6791      9.3632

       H2     16.9013      8.8211

       I2      14.4969      5.1418

       J2      13.2834      8.3032

       K2     26.4881     12.7447

       L2     20.6274     12.0839

       M2    19.8605     11.5452

       N2     18.0270      9.9972

       k2     11.8282      2.9190

       l2      10.2562      7.0143

       m2    13.8805      8.4055

       n2     17.5151      9.8007

       u2     22.6371      6.8486

       w2     22.6371      6.8486

       x2      19.8348      5.2876

     D’où le graphique ci-après, qui situe chacun des 68 points.

     On notera que déterminer les points qui doivent être joints deux à deux (à la règle) est relativement aisé concernant les points-repères mais peut être nettement moins évident dans le cas des extrémités des ombres car certaines de ces extrémités, que je fais figurer à toutes fins utiles sur le tracé au sol, peuvent n’être que virtuelles si le rayon lumineux correspondant a heurté auparavant une autre partie du temple.

B. Savoir comment, une fois sur la plage, reproduire ce plan en en respectant les proportions

     Une fois achevée l’étape (détaillée ci-dessus) de préparation minutieuse, sur une feuille de papier de format A4 ou A3, du plan du tracé, il reste, une fois sur la plage, à reproduire ce plan en en respectant les proportions.

     Comme ce n’est pas nécessairement très simple, il vaut mieux y réfléchir à l’avance, notamment si on a recours à du matériel spécifique.

     Fondamentalement il s’agit de quadriller, sans perdre de temps car la marée n’attend pas, et avec une précision suffisante, la zone de tracé du futur dessin sur le sable, et cela avec des carrés subdivisant sinon toute cette surface, du moins les parties de cette surface où se trouvent des points-repères (ce qui peut représenter quelques centaines de carrés de 50 cm de côté).

     Avec quelques piquets et une cordelette munie de nœuds tous les 50 cm, on peut assez vite quadriller la zone voulue, à condition d’avoir trouvé un moyen de faire en sorte que l’orthogonalité des lignes soit respectée. Et on peut alors situer, au sein de chacun des carrés les points qui y figurent sur le dessin-papier. Relier ces points deux à deux n’est pas si facile que cela, même en étant guidé par un cordeau, car le sable n’est pas homogène, on n’appuie pas de façon uniforme sur la pointe de l’outil de traçage et on ne recule pas de façon parfaitement droite le long de la ficelle tendue.

     Une suggestion, que j’ai imaginée, concernant une façon simple de créer des angles droits : parce que le théorème de Pythagore permet de vérifier qu’un triangle dont les côtés mesurent 3m et 4m et dont l’hypoténuse mesure 5m est un triangle rectangle (car 3²+4²=5²), je crée une sorte d’équerre avec u rdelette faisant une boucle mais avec trois nœuds espacés de 3, 4 et 5 m, des nœuds à chacun desquels j’attache un piquet. Je place chacun des deux nœuds (B et C) entourant le segment de 5 m sur un des côtés extérieurs de la zone à quadriller et, en tendant les côtés de 3 m et de 4 m qui conduisent au troisième nœud (A) je peux déterminer l’emplacement du sommet du triangle rectangle ; relié aux points B et C, le point A forme un angle droit. CQFD.